文 | 《中國科學(xué)報》記者 韓揚眉 實習(xí)生 沈秋月
千呼萬喚始出來。
11月8日，華裔數(shù)學(xué)家、加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校教授張益唐線上參加由北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院組織的學(xué)術(shù)報告，向北大師生及公眾解讀他的最新成果——11月4日，關(guān)于朗道-西格爾零點猜想的論文《離散均值估計和朗道-西格爾零點》正式上傳至預(yù)印本網(wǎng)站arXiv。
(相關(guān)資料圖)
報告會正式開始之前，張益唐強調(diào)：“有人以為就是證明了黎曼假設(shè)是錯的，我再說一遍，我可沒有這個本事。我只是在一定范圍里部分地解決黎曼假設(shè)應(yīng)該是對的。如果說我推翻了黎曼假設(shè)，估計沒什么人會相信。”
3天前，11月5日上午，張益唐就已向山東大學(xué)師生作了關(guān)于他最新成果的線上報告。張益唐提到，數(shù)論無論在任何時候都是很有發(fā)展前途的，“從來沒有人敢說在數(shù)學(xué)發(fā)展史上數(shù)論不重要，盡管有時候解析數(shù)論發(fā)展有些緩慢。”
據(jù)澎湃新聞報道，張益唐教授夫人孫雅玲也在當(dāng)天的報告會進行了發(fā)言。她描述了張益唐對數(shù)學(xué)的“瘋狂”程度：每天早上七點多天蒙蒙亮，張益唐拄著拐杖、背著書包就走了，晚上走回家就七點了，“回到家，研究做不出來就一直嘟囔：‘零點、零點。’連我都知道零點了。我就想了個辦法，每天晚上把菜準(zhǔn)備好，讓他回來炒菜，把注意力分散一點”。
“部分解決黎曼假設(shè)應(yīng)該是對的”
大約40分鐘的學(xué)術(shù)報告，張益唐沒放PPT，只有兩塊白板，一只馬克筆，他用盡可能初等的數(shù)學(xué)語言，盡可能緩慢的語速，邊寫公式邊講述，分享了他在朗道-西格爾零點問題上的思路和方法。
張益唐手寫公式（視頻會議截圖）
張益唐提到，他花了很長時間去尋找問題的解決辦法。
“如同大海撈針一樣，我試了很多的方法，包括變分法、積分方程等，但關(guān)鍵一步都跨不過去。但是我后來發(fā)現(xiàn)，即使撈不到這根針，但是我已經(jīng)把海底環(huán)境摸索清楚了，也不需要非得一定撈到這根針。”
“這可能是一個新的突破。”張益唐說，能做到這一步，應(yīng)該說自己比較慶幸，雖然仍然使用傳統(tǒng)的解析數(shù)論的方法，但是利用到了極致，完全吃得很透了，才能夠找到這樣的關(guān)系。
純數(shù)學(xué)問題最美妙，也最艱難。正如張益唐所說，數(shù)論在任何時候都是有發(fā)展前途的，嚴謹治學(xué)的風(fēng)格、鍥而不舍的精神非常重要，經(jīng)典方法是否有效，取決于你是否能把它做到極致。
張益唐講述新方法（視頻會議截圖）
只言片語難以言明朗道-西格爾零點問題的奧妙之處?！稊?shù)學(xué)文化》聯(lián)合主編、山東大學(xué)教授劉建亞向《中國科學(xué)報》解釋了朗道-西格爾零點問題的重要意義。
劉建亞表示，首先，這一問題是基本的，任何做解析數(shù)論的人都無法規(guī)避該問題。其次，這個問題是困難的，自20世紀(jì)30年代以來，這個問題的研究幾乎沒有實質(zhì)性進展。最后，也是最撼動人心的是，張益唐對朗道-西格爾零點猜想的證明一旦通過了驗證，將改寫解析數(shù)論的教科書，解析數(shù)論的研究生教材要因此而改變。
究竟什么是“朗道—西格爾零點”問題？
根據(jù)山東大學(xué)新聞網(wǎng)介紹，素數(shù)分布一直是數(shù)論研究的中心問題。解析數(shù)論是數(shù)論中以解析方法作為其研究工具的一個分支。黎曼zeta函數(shù)和狄利克雷L-函數(shù)的各種分析性質(zhì)是解析數(shù)論研究的重要理論基礎(chǔ)。正如黎曼zeta函數(shù)的零點分布與素數(shù)分布之間有著深刻密切的聯(lián)系，狄利克雷L-函數(shù)零點分布也在素數(shù)理論中發(fā)揮廣泛而根本性的作用，與素數(shù)分布的諸多核心問題有著深刻的內(nèi)蘊聯(lián)系，如哥德巴赫猜想、孿生素數(shù)猜想等。
因為全體模D的狄利克雷特征的適當(dāng)線性組合可以表示出模D算術(shù)級數(shù)的計數(shù)函數(shù)，所以狄利克雷L-函數(shù)與算術(shù)級數(shù)中的素數(shù)分布問題密切相關(guān)。對于固定的狄利克雷特征，黎曼zeta函數(shù)的解析性質(zhì)大多容易推廣到相應(yīng)的狄利克雷L-函數(shù)上去。
比如當(dāng)特征是復(fù)特征時，其L-函數(shù)與黎曼zeta函數(shù)有類似的非零區(qū)域
但是，當(dāng)特征是實原特征時，在區(qū)間
內(nèi)至多可能存在一個一階實零點，這里c是一個適當(dāng)?shù)恼?shù)。朗道（Landau）和西格爾（Siegel）等在這一問題作出過重要貢獻，這個可能存在的例外實零點被稱為朗道-西格爾零點。
如果我們相信廣義黎曼猜想，那么朗道-西格爾零點應(yīng)該不存在。朗道-西格爾零點的研究非常重要，是解決很多數(shù)論問題的瓶頸。
所謂的朗道-西格爾零點猜想斷言，朗道-西格爾零點確實不存在。這是數(shù)論中長期懸而未決的重要猜想。一旦證明了這一猜想，就可以取得很多新突破，簡化和加強很多經(jīng)典數(shù)論結(jié)果。張益唐在最新預(yù)印本論文里證明了，模D的實原特征L-函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)沒有實零點，這里c是絕對實效正常數(shù)。如果把這里的2024換成1，就得到原始形式的朗道-西格爾零點猜想。2024雖然大于1，但在數(shù)學(xué)意義上，與1并沒有實質(zhì)性的差別。
“目前是（指數(shù)）做到了2024，我想經(jīng)過一番努力應(yīng)該還是可以做到幾百的，但是做到1還確實存在難度，現(xiàn)在達不到，這就回到原始形式的朗道-西格爾零點猜想了。”張益唐說。
事實上，在2007年，張益唐在預(yù)印本網(wǎng)站提交了《論朗道-西格爾零點猜想》的論文，被認為存在缺陷。而11月4日提交的論文《離散平均估計和朗道-西格爾零點》，張益唐突出了使用的研究方法和工具。
數(shù)學(xué)界將對這一成果進行同行評審
111頁的論文，重要的數(shù)學(xué)難題，數(shù)學(xué)界為之震動。
《中國科學(xué)報》記者獲悉，張益唐的導(dǎo)師潘承彪教授評論：“聽了益唐講的想法很清楚，這是一個重要的篩法新思想，有很大發(fā)展?jié)摿Γ蓪崿F(xiàn)起來很難。”
張益唐獲悉后跟夫人說：聽了潘老師的肯定，勝于一萬個人的贊揚。
《中國科學(xué)報》記者還了解到，著名數(shù)論專家Andrew Granville回復(fù)郵件表示，“I understand his plan--I have also thought about t hese things but have thought it would be impossibl e to make anything like this work.But of course Zhang is very brilliant so who knows? I do not have time to read this now but hopefully so me clever young person will。”（我理解他的計劃---我也考慮過這些事情，但我認為要把這樣的事情做好是不可能的。當(dāng)然，張是非常聰明的，所以誰知道呢？我現(xiàn)在沒有時間看這個，但希望聰明的年輕人能夠看一看。）
張益唐這一論文在“MathOverflow”（一個面向?qū)I(yè)數(shù)學(xué)家的問答網(wǎng)站）得到了熱烈的討論：
“在之前的許多論文中，都假設(shè)Siegel零不存在，但它不需要那么強。張的論文并沒有排除西格爾零點存在的可能性，但是這種排除的范圍足以覆蓋之前很多論文要求的范圍。這使得許多先前的結(jié)果從假設(shè)結(jié)果變?yōu)榇_定性結(jié)果，從這個角度看，論文的意義是極其重大的。”
“假設(shè)這篇論文是正確的，一個直接的結(jié)果是，每一個源自西格爾定理的無效常數(shù)現(xiàn)在都是有效的。當(dāng)然，結(jié)果暗示的遠不止這些，但如果結(jié)果正確，這已經(jīng)足夠使結(jié)果具有紀(jì)念意義了。”
“如果張的結(jié)果是正確的，將會有許多重要的后果。一個具體的結(jié)果是，它將高斯和歐拉時代最后一個開放的問題減少到有限的計算量，即每屬一類的二元二次型判別式分類。”
接下來，數(shù)學(xué)界將對這一成果進行同行評審。據(jù)了解，張益唐2007年那篇論文的評審速度很快，只用了兩三周。鑒于其重大關(guān)注度，這次也應(yīng)該不會太慢。
在報告最后，張益唐說，這個研究成果只是在小范圍內(nèi)證明朗道-西格爾零點猜想是對的，就是說這個零點確實是不存在的。“我現(xiàn)在的研究其實還存在繼續(xù)完善的地方，論文也需要做進一步的深化。”
